La matemática es una disciplina anticipatoria de la experiencia, que permite conocer el resultado de algunas situaciones sin necesidad de realizarlas efectivamente. Construir herramientas que permitan obtener resultados sobre aspectos de la realidad, sin necesidad de realizar experiencias efectivas y responsabilizarse matemáticamente por la validez de los resultados, son desde la perspectiva actual, dos aspectos ineludibles del quehacer matemático escolar. (Prediseño Curricular- Secretaría de Educación-1999).
La matemática es una disciplina que ofrece herramientas para resolver ciertos problemas de la realidad; pero centrarse exclusivamente en la utilidad hace perder de vista a la matemática como una ciencia formativa, un producto cultural, una forma de pensamiento.
El conocimiento matemático se produce no sólo para dar respuestas a situaciones de la realidad, sino también para dar respuestas a problemas que surgen del interior de la disciplina.
La enseñanza y el aprendizaje de la matemática están sufriendo un proceso de transformación importante. En la actualidad aprender matemática es construir el sentido de los conocimientos; es decir que aquello que se enseña debe ser significativo para el alumno. Los conocimientos tendrán significado para el niño en la medida en que surjan como resultado de las actividades que realiza.
Para que el aprendizaje se logre y sea exitoso debe estar integrado y teniendo en cuenta que el aprendizaje espontáneo se desencadena por interés o necesidad, es imprescindible que el ser que aprende se interese en su actividad. Además quién aprende lo hace desde lo que ya sabe, es decir que se han de sistematizar los conocimientos previos (sociales o escolares) y organizar las actividades de tal forma que lleven a la nueva información. Las dificultades deben graduarse de tal modo que el niño pueda progresar en el conocimiento hasta llegar al contenido a desarrollar.
Se deberá estimular el razonamiento individual, la participación, el intercambio con los pares y el docente, se intentará promover la búsqueda de soluciones alternativas para favorecer la comprensión de los conceptos matemáticos.
Los conceptos matemáticos pueden elaborarse de diversas maneras, ellas dependen de todo lo que una persona haya tenido la oportunidad de realizar con relación a ese concepto.
El proceso de construcción de un concepto matemático comienza a partir del conjunto de actividades intelectuales que se ponen en juego frente a un problema para cuya resolución resultan insuficientes los conocimientos de que se dispone hasta el momento, por ello es necesario aprender un contenido nuevo; los conocimientos que son punto de apoyo para la elaboración de un nuevo concepto, también forman parte del sentido de ese concepto, resultando así una interrelación significativa.
miércoles, 13 de julio de 2011
EL PROBLEMA DE DELOS:
LA DUPLICACIÓN DEL CUBO
En el año 429 a JC una gran epidemia mató a la cuarta parte de la población de Atenas en Grecia. Entre ellos a Pericles.
Los sacerdotes consultaron al oráculo del Dios Apolo (en Delos) y afirmaron que duplicar el altar con forma de cubo, dedicado al Dios Apolo en Delos, terminaría con la epidemia.
Los atenienses duplicaron las dimensiones del altar y al hacerlo aumentaron ocho veces su volumen. Es decir no pudieron resolver el problema planteado.
¿Por qué al duplicar las dimensiones del altar, aumentaron ocho veces el volumen y cómo debían haber procedido los griegos para duplicar el altar dedicado al Dios Apolo?.
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lunes, 4 de julio de 2011
Los grandes problemas matemáticos en la historia
LOS GRANDES PROBLEMAS (MATEMATICOS) DE LAS CIVILIZACIONES:
La matemática se desarrolla históricamente como respuesta a determinados problemas que se le presentan a las civilizaciones. Desarrollamos algunos de ellos a modo de ejemplo:
La medición del tiempo, la construcción de caminos, canales y monumentos, así como el trazado de ciudades y fortalezas, exige el desarrollo de una geometría práctica, que es indispensable para la medición de longitudes y superficies, además del diseño arquitectónico. A la par se desarrollan importantes sistemas de medición de longitud y capacidad, los cuales toman el cuerpo humano como referencia.
La construcción de las pirámides:
La construcción de toda pirámide implica una cuidadosa planificación: elección de la necrópolis, diseño y realización de los planos del edificio, cálculos del material y de la mano de obra a emplear, construcción del edificio, etc.
La gran pirámide de Giza es construye por iniciativa del faraón Jufu (Keops) hacia el 2570 a C.
El arqueólogo y egiptólogo Flinders Petrie[1] observa, entre otros aspectos morfológicos, que la sección horizontal de la Gran Pirámide tiene forma octogonal, de estrella de cuatro puntas, pues cada una de las caras está compuesta por dos planos, con ligera pendiente hacia el centro, difícilmente apreciable a simple vista por la ausencia casi total del revestimiento. Esta característica y su orientación hacia el Norte geográfico, genera en las caras norte y sur un fenómeno de proyección de sombras durante los equinoccios. La altura original se estima en 146, 61 m y la pendiente 51º 50 35” . La longitud media de los lados de la base es 230,347 m
En el siglo XX surgen hipótesis acerca de la forma de construcción, como la del egiptólogo alemán Ludwig Borchardt, quien expuso (en 1928) la teoría de utilización de grandes rampas, perpendiculares a la cara de la pirámide, como medio para construirla. Algunos egiptólogos y arqueólogos, descartaron la teoría de las rampas, opinando que la propia pirámide sirvió de plataforma de trabajo.La construcción de las pirámides está llena de interrogantes en cuanto a los procedimientos tecnológicos con los que contaron los egipcios. Las pirámides son monumentos colosales y de una gran precisión; y pese a las muchas excavaciones realizadas, no se han encontrado las herramientas con las que se pudieron realizar estas obras y las que se hallaron son herramientas de bronce que parecen insuficientes, para cortar bloques de granito. A pesar de todos los interrogantes que nos podemos plantear es seguro que los egipcios conocen la forma de trazar ángulos rectos, la relación pitagórica, las relaciones espaciales necesarias para el trazado de planos, la forma de construir rampas inclinadas, la manera de calcular áreas de figuras y cuerpos regulares, la forma de mantener una pendiente (ángulo) en las caras de una pirámide, etc.
No sabemos exactamente como llegaron los egipcios a adquirir y desarrollar estos conocimientos matemáticos pero es indudable que han logrado construirlos: las pirámides en pie desde hace más de cinco mil años lo prueban.
El Calendario egipcio[2]
Los pueblos de la antigüedad miden los años mediante calendarios lunares, producto de las observaciones que realizan de este astro. Los babilonios, altamente preocupados por la Astronomía y las Matemáticas tienen un calendario basado en observaciones lunares y en fenómenos del satélite de la tierra que no son regulares. La duración de una lunación es variable y está comprendida entre 29 días 6 horas y 29 días 20 horas, siendo el mes lunar medio de 29 días 20 horas 44 minutos 2 segundos. Los egipcios usan al inicio de su civilización un calendario lunar.
Los egipcios, esencialmente agricultores, están muy pendientes de la inundación anual del Nilo y el calendario lunar no es muy efectivo para predecirla: entonces deciden crear un calendario relacionado con este suceso tan importante para su subsistencia.
Es así que observan que el inicio de la inundación del Nilo, coincide con la aparición de la estrella Sotis (Sirio) por el este justo antes de la salida del Sol y que este hecho está separado por 365 días. Establecen un calendario de 12 meses de 30 días cada uno (360 días) y los 5 días restantes, los dedican a celebrar los nacimientos de los dioses Osiris, Orus, Seth, Isis y Neftis, los cinco hijos de la diosa Nut (días epagómenos).
Esta medición (no exacta) del año, produce que cada cuatro años se produce un error de un día, es decir, el inicio del año se retrasa un día cada cuatro. Este desfasaje es importante y con el transcurso del tiempo se produce un desplazamiento de las estaciones.
La fecha de la inundación es el acontecimiento más importante del año, es necesario calcular y hacer saber a los campesinos en qué momento se produce la inundación: este cálculo lo hacen los sacerdotes para incrementar su poder.
En el año 238 a.C., durante el reinado de Ptolomeo III, el decreto de Canopus impone el “Calendario Alejandrino” que establece un sexto día epagómeno cada 4 años. Más tarde Julio Cesar, en el En el año 8 a C. el emperador romano Cayo Julio Cesar Octavio hace corregir el calendario, estableciendo el Calendario Juliano.
La tierra no tiene una velocidad constante de rotación y su velocidad ha ido disminuyendo a través del tiempo, de esta manera se ha presentado un desfase en la coincidencia de las estaciones y el calendario, desfase, que no es corregido completamente por las modificaciones que se han ido introduciendo en el calendario juliano.
En el siglo XVI, este desfase es muy notorio y el Papa Gregorio XIII, llama a matemáticos importantes de la época para que analicen el problema y propongan soluciones. Entre ellos podemos citar al alemán Christoforus Clavius (1538-1612), profesor jesuita de matemática quien propuso la solución adoptada finalmente: Se suprimen los diez días del desfase entre las fechas y el equinoccio de primavera eligiéndose el 5 de octubre del año 1582 que pasa a ser el 15 de octubre. Se instituye que, como cada 400 años el desfase es de aproximadamente 3 días, habría que suprimir tres años bisiestos de cada período de 400 años. La nueva regla es: de los cuatro años múltiplos (de 100 de cada periodo de 400 años), sólo es bisiesto[4] el último de ellos.
Gregorio XIII, cuyo pontificado dura desde 1572 a 1585, implanta el nuevo calendario en 1582 llamándose desde entonces, y en su honor, “Calendario Gregoriano”. Las naciones católicas lo implantaron de inmediato.
LOS PROBLEMAS (CLÁSICOS) EN LA MATEMÁTICA GRIEGA
Los griegos del siglo VII a C, se reúnen en la isla del mar Egeo, Delos, para celebrar la entrada de la primavera, y agradecer a los dioses Apolo y Artemisa en sus templos de la isla. Las reuniones festivas en honor a los dioses se llaman Delias y se aprovechan para comerciar. La isla de Delos pertenece a las islas Cícladas, están situadas al este de la península del Peloponeso, y en ella surgen los tres problemas clásicos griegos. Los tres problemas deben resolverse solamente con el uso de la regla y el compás. Cualquier solución que se pueda obtener por otros procedimientos no se considera válida. Algunos científicos griegos obtienen soluciones geométricas y mecánicas de estos problemas, pero los problemas se consideran no resueltos, puesto que no se había realizado la resolución con regla y compás, que es la metodología exigida.
El primer problema en aparecer, es el de la cuadratura del círculo: Construir a partir del radio r de un círculo, un cuadrado de la misma área que el círculo. En problema consiste en relacionar el radio del círculo con su área o con la longitud de la circunferencia que lo contiene, es decir por determinar la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro (el número pi).
La duplicación del cubo se relaciona con el oráculo de Delos. Una leyenda cuenta que una epidemia de peste, en Atenas hacia el
Los sobrevivientes a la peste tratan de construir un altar con un volumen doble del que tiene Apolo, duplicando la medida lineal del altar, pero sin lograrlo: conservando la forma cúbica y duplicando cada lado se obtiene un cubo ocho veces mayor que el inicial.
El problema de la trisección del ángulo consiste en dividir un ángulo cualquiera en tres partes iguales (congruentes) con el único uso de la regla y el compás.
Actualmente se considera que estos problemas clásicos de la matemática griega, tienen una respuesta adecuada en el terreno del álgebra y la exigencia griega de que los problemas sean resueltos con regla y compás, impiden que se puedan resolver, pero dan lugar al desarrollo de muchos contenidos matemáticos que facilitan grandes avances en su evolución.
LOS SISTEMAS DE MEDIDAS:
Los sistemas de medidas derivan de las dimensiones del cuerpo humano (codo, pie, etc) y tienen distintas evoluciones relacionadas con el intercambio de productos entre distintos grupos humanos para unificar la unidad de medida y el desarrollo de los sistemas de escritura y numeración. Los egipcios toman el cuerpo humano (generalmente de los faraones) como base para las unidades de longitud, tales como: las longitudes de los antebrazos, pies, manos o dedos. El codo, cuya distancia es la que hay desde el codo hasta la punta del dedo corazón de la mano, es la unidad de longitud más utilizada en la antigüedad, de tal forma que el codo real egipcio, es la unidad de longitud más antigua conocida. El codo es heredado por griegos y romanos, aunque no coincidían en sus longitudes.
Hasta el siglo XIX proliferan distintos sistemas de medición lo que conlleva a frecuentes conflictos entre mercaderes, ciudadanos y los funcionarios del fisco. A medida que se extiende por Europa el intercambio de mercancías, se generaliza en las clases gobernantes, la necesidad de crear un sistema común de medidas que facilitara el comercio.
En la época de
La forma actual del sistema métrico decimal constituye el Sistema Internacional de Medidas, creado en 1960 por
[1] Inglés 1853 1942, dedicado al estudio de la arqueología egipcia e israelí.
[2] Se sitúa su origen alrededor de 2773 a C.
[3] Astrónomo y filósofo de la ciudad de Alejandría que calcula que el año solar dura 365 días y 6 horas dando origen al calendario juliano.
[4] Es decir, serían bisiestos el 1600, 2000, 2400, etc. y no lo serían el 1700, 1800, 1900, 2100, etc
[5] En ese momento se define el metro como la diezmillonésima parte de un cuarto de meridiano terrestre que pasa por Paris.
[6] La Conferencia General de Pesos y Medidas es el órgano de decisión de la Convención del Metro y tiene a su cargo tomar decisiones en materia de metrología, se reúne cada cuatro años y está integrada por representantes de los estados miembros: 51 países que usan el sistema métrico decimal.
DE QUE HABLAMOS CUANDO HABLAMOS DE MATEMÁTICA.
¿DE QUE HABLAMOS CUANDO HABLAMOS DE MATEMÁTICA?
David Hilbert, el genial matemático alemán nacido en 1862, se da cuenta un día que uno de sus estudiantes ya no asiste a sus clases. Pregunta a sus compañeros, quienes le informan que el estudiante en cuestión había renunciado a la matemática para ser poeta. Hilbert contesta: “Bien, no tenía suficiente imaginación para ser matemático”.
Los diccionarios establecen que la imaginación es la facultad que permite representar las imágenes de las cosas reales o ideales y que es la facilidad de una persona para formar nuevas ideas, proyectos o entes que no existen en la realidad, incluso se afirma que la imaginación es la capacidad de formar imágenes mentales, que pueden estar o no ligadas a visiones reales o percepciones realizadas anteriormente. La imaginación lleva a la elaboración de poemas, cuentos, obras de arte, ……..a la formulación de nuevas teorías matemáticas y científicas porque puede convertirse en una fuente de intuiciones y de hipótesis.
Albert Eistein afirma que “la imaginación es más importante que el conocimiento. Mientras que el conocimiento se limita a lo que ahora conocemos y entendemos, la imaginación abarca el mundo entero, todo lo que en el futuro se conocerá y entenderá”.
No es posible negar que, para hacer matemática, es imprescindible tener imaginación, ya que gran parte de las visualizaciones mentales que se requieren para aprender esta disciplina, se apoyan sobre imágenes mentales de objetos matemáticos y para resolver un problema es necesario imaginar una estrategia de solución.
Pero, ¿que otras cuestiones son necesarias para abordar el aprendizaje de la matemática? ¿Es cierto que la forma de razonar de los matemáticos es distinta a la del resto de los científicos?. Una anécdota atribuida a Stewart es la siguiente: un ingeniero, un físico y un matemático, viajando en tren por Escocia, ven en medio de un campo una oveja negra.
Se produce entonces el siguiente diálogo:
- "Qué curioso", observa el ingeniero - "en Escocia las ovejas son negras".
- "No", protesta el físico, - "en Escocia algunas ovejas son negras".
-"No, no", corrige el matemático con paciencia: - "en Escocia hay al menos un campo que tiene al menos una oveja cuyo único lado visible desde el tren es negro".
Esta anécdota hace referencia a la precisión del lenguaje que emplean los matemáticos: se limitan a enunciar lo que conocen, sin especular sobre lo que no conocen, ni hacer afirmaciones sin base real.
Desde siempre se enseña matemática en todas las escuelas y en todos los niveles. Las razones básicas por las cuales se enseña esta disciplina son: porque es muy adecuada para desarrollar la capacidad de pensamiento y la capacidad deductiva (aspecto formativo) y porque es útil para la vida cotidiana (aspecto práctico), para emplear en otras disciplinas del desarrollo personal y profesional (como herramienta) ya que son auxiliares para averiguar, analizar, explicar y representar lo que nos rodea.
La facultad de predecir de la matemática es empleada a diario: por ejemplo, predecimos cuánto gastaremos en una compra, mediante cálculos. Este poder anticipatorio de la matemática es muy importante y podemos dar tan solo dos ejemplos.
El gran matemático griego Thales, fue capaz de predecir un eclipse y averiguar la altura de la Gran Pirámide de Gizeh, empleando cálculos matemáticos. Parece ser que midió la longitud de la sombra que la pirámide dejaba sobre la arena, la comparó con su propia sombra y empleo relaciones de proporcionalidad para averiguar la altura. En 1846 John Adams, demostró la existencia del Planeta Neptuno mediante cálculos: Estableció la órbita de Urano, observó que en la realidad sufría alteraciones respecto de la órbita prevista, entonces atribuyó las alteraciones a un cuerpo extraño que con su presencia alteraba la órbita del planeta Urano. Señaló las coordenadas de ese objeto extraño que alteraba la órbita (de Urano) para que los astrónomos enfocaran sus telescopios. Más tarde, se descubrió el objeto extraño: se lo llamó Neptuno.
Se asocia también a la matemática con la inteligencia, la creatividad y la capacidad de observación. Carl Frederich Gauss, considerado uno de los hombres más inteligentes de la historia, a los 10 años ya se destacaba en la escuela. Su maestro le propuso sumar los cien primeros números naturales para mantenerlo entretenido y en pocos minutos encontró la respuesta por medio de una estrategia adecuada y creativa. Gauss se dedicó a la matemática y sus aportes son invaluables.
Podemos asegurar también que la matemática es un producto cultural. Todas las civilizaciones desarrollan contenidos y conceptos matemáticos y sus orígenes están ligados a la intuición, a las conjeturas, a las aproximaciones inductivas, a la observación, a la capacidad de creación e imaginación. Muchas nociones matemáticas nacen como respuestas a preguntas de la vida cotidiana y gran parte del conocimiento matemático surge de la interacción de las personas entre si y de las personas con el medio. Algunos contenidos se desarrollan contemporáneamente en culturas diferentes y son influenciados por las concepciones de la época en la que surgen. La matemática es una ciencia formalizada y axiomatizada pero en constante construcción.
Además de las razones expuestas, habría que añadir que la matemática es un lenguaje, un medio de comunicación: en la tierra se hablan idiomas diferentes, incluso con alfabetos diferentes, pero los matemáticos de todo el mundo emplean el mismo lenguaje simbólico: el lenguaje matemático. El destacado científico Carl Sagan afirma que el lenguaje común a todas las civilizaciones con desarrollo tecnológico, por muy diferente que sean, es la matemática ya que las leyes de la naturaleza son únicas y se explican en términos matemáticos.
- Desarrollo de la potencia crítica que capacita a la gente para manejar la masa de datos con la que constantemente somos bombardeados. Como consecuencia, se deriva la introducción de nociones estadísticas en todos los currículos de los niveles obligatorios.
- La existencia de una certeza verificable ausente en otros aspectos de la existencia humana. Dos consecuencias derivadas de este hecho: a) suministra al alumnado las suficientes Matemáticas como para convencerse de existe algo que es verdad fuera de toda duda y b) la enseñanza debe realizarse de forma que capacite y anime al alumnado a llegar a sus propias convicciones.
- El placer inherente de la creación matemática.
- El papel auxiliar de las Matemáticas, en crecimiento continuo y exponencial.
A estas razones podríamos agregar el concepto de matemática lúdica, recreativa. Como ejemplo de matemática para el entretenimiento y pasatiempo: citaremos: el sudoku, el cubo de Rubik, los cuadrados mágicos, el origami, el tan gram, los números cíclicos.
Ante todo lo expuesto: ¿de que hablamos cuando hablamos de matemática?. Hablamos de una manera de pensar y de razonar, de una manera de expresarnos, de una manera de encarar la solución de situaciones problemáticas cotidianas y de encarar esas situaciones, hablamos de una variedad de estrategias deductivas, de búsqueda de regularidades, de empleo de datos para organizar deducciones. Hablamos de emplear la capacidad deductiva de nuestra especie.
Algunos problemas entretenidos:
1.- En la tumba del matemático griego Diofanto de Alejandría figura la siguiente inscripción:
“Esta tumba contiene a Diofanto. ¡Gran maravilla!
Y la tumba dice la medida de su vida: Dios hizo que fuera niño una sexta parte de su vida.
Añadiendo un doceavo , las mejillas tuvieron su primera barba.
Le encendió el fuego nupcial después de un séptimo.
Y en el quinto año después de la boda le concedió un hijo.
Pero, niño, tardío y desgraciado en la mitad de la medida de su vida de padre, lo arrebató la helada tumba.
Después de consolar su pena cuatro años con esta ciencia del cálculo llegó al término de su vida”.
Averigua ¿cuántos años vivió Diofanto?.
2.- Un gavilán posado en la rama de un árbol y admirado de ver a las hermosas palomas volar, le dijo a una de ellas,
- “Adiós mis cien palomas, que bellas se ven”.
Una de ellas, llena de amabilidad, le dijo:
- Disculpe señor gavilán, pero nosotras no somos cien, con otro tanto igual, más la mitad, más la cuarta parte y usted, señor gavilán, las completamos. ¿Dígame, señor gavilán, cuantas somos?
3.- Los caballos que pertenecen a 4 hombres son respectivamente 5, 3, 6 y 8. Los camellos que pertenecen a los mismos son 2, 7, 4 y 1. Las mulas son 8, 2, 1 y 3. Los bueyes son 7, 1, 2 y 1. Los 4 hombres tienen igual fortuna. ¿Cuál es el precio de cada uno de los animales?4.- Dentro de un bosque, un número de monos es igual al cuadrado de un octavo del total de un conjunto de ellos que estan jugando ruidosamente. Hay doce monos más, que están en una colina cercana y no juegan. ¿Cuantos monos están jugando?
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