La Matemática y la raza humana

Algunos matemáticos sostienen que la característica que distingue a la raza humana de otras especies animales es la matemática y que sin ella, la evolución de la especie humana hubiera sido distinta y practicamente imposible el desarrollo de la tecnología.

Podemos discutir esta hipótesis, pero lo indiscutible es que la Matemática, desde sus remotos orígenes hace miles de años, acompaña a todos los pueblos; tiene una larga evolución y en el presente es casi imposible prescindir de ella.

Observando el crecimiento de la matemática del último siglo podemos afirmar que tiende hacia la abstracción más absoluta, evoluciona y crece sin parar y seguramente seguirá haciéndolo hasta niveles insospechados cercanos a la ciencia ficción.



La enseñanza de la Matemática

Las investigaciones de Guy Brousseau realizadas en Francia a fines del siglo XX han modificado sustancialmente la forma de enseñar matemática.

jueves, 27 de octubre de 2011

la sucesión de Fibonacci

LA SUCESIÓN DE FIBONACCI Y EL CODIGO DA VINCI

El matemático italiano Leonardo Bigollo, nacido en Pisa en 1170, se hizo famoso en Europa al escribir en 1202 el libro “Liber Abaci” (libro del ábaco) donde difunde y explica el sistema de numeración indoarábigo (el sistema decimal y posicional que se usa actualmente en casi todo el mundo).

En este libro plantea el siguiente problema:
Un granjero tiene una pareja de conejos en un lugar cerrado. Esa pareja engendra otra pareja (ahora hay dos parejas) y cada una de esas dos parejas engendra otra pareja, siguiendo así sucesivamente.
Si cada conejo se puede cruzar a la edad de un mes.
¿Cuántas parejas de conejos habrá después de cada mes que transcurre? ¿Cuántas parejas de conejos habrá al fin del año?

La respuesta al problema es la siguiente sucesión numérica:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144.

Esta serie de números conocida como la “sucesión de Fibonacci” aparece en la naturaleza, en algunas configuraciones biológicas, en la disposición de las hojas en el tallo de una planta, en la corola de algunas flores, en astronomía, como forma de calcular intereses bancarios, etc.

La sucesión se conoce con ese nombre ya que a Leonardo se lo comenzó a llamar Fibonacci por la expresión “Filius de Bonacci” (hijo de Bonacci), el apodo de su padre.

Los elementos de la serie se recuerdan con facilidad cuando se advierte que a partir del 0 (ninguna pareja de conejos) y el 1 (una pareja de conejos), cada nuevo número se obtiene sumando los dos anteriores.

Mucho antes que Leonardo de Pisa presentara la sucesión como respuesta al problema de los conejos, ya había sido empleada por los matemáticos de la India y muy probablemente por otros del mundo antiguo, pero sin duda fue Fibonacci quién la hizo ampliamente conocida después del siglo XIII.

En el siglo XX adquirió popularidad en el ámbito musical cuando algunos compositores la utilizan para la creación de acordes y nuevas estructuras de frases musicales.

En el año 2003 un escritor de novelas de intriga, acción y misterio, Dan Brown, escribe “El Código Da Vinci” que rápidamente se convierte en un best seller mundial con más de 44 millones de ejemplares vendidos. Traducida a 44 idiomas, la novela combina el asesinato, el suspenso, el esoterismo, las teorías de conspiración y algunas leyendas religiosas relacionadas con la figura de María Magdalena, los primeros cristianos, el Grial y la hipotética descendencia de Jesús, el Opus Dei, la dinastía merovingia, algunos enigmas planteados por Leonardo Da Vinci en sus obras artísticas, los secretos muy bien guardados del Vaticano y la sucesión de Fibonacci.
El desarrollo de la historia requiere la solución de varios acertijos y anagramas. La solución a cada uno de ellos se encuentra íntimamente ligada a la posible ubicación del Santo Grial y lo relativo a una misteriosa sociedad secreta llamada el Priorato de Sion, así como a los Caballeros templarios.
El polémico libro que ha ofendido a los católicos y otras comunidades cristianas es solo una novela de ficción y su autor ha sido demandado ante la justicia por distintas cuestiones incluido el plagio, no obstante le ha permitido hacerse multimillonario con las ventas de la novela que le ha servido para acumular los millones siguiendo los números de la sucesión de Fibonacci.

domingo, 23 de octubre de 2011

Estudiar matemática!!

La matemática

Las personas que nos hemos dedicado al estudio de la matemática, más de una vez hemos escuchado decir “¿Cómo pudiste estudiar eso?”, el “eso” se refiere a la matemática que recibe muchos y variados adjetivos: difícil, tediosa, aburrida, incomprensible, interesante, lógica, exacta, verdadera, certera, inútil, etc, según quien sea el que la está calificando.
Bertrand Rusell, el filósofo y matemático inglés que recibió el Premio Nobel en 1950 afirmaba “La matemática se puede definir como aquello que no sabemos de que hablamos ni si lo que decimos es verdad” y unos mil seiscientos años antes que él, San Agustín afirmaba "El buen cristiano debe permanecer alerta de los matemáticos y todos aquéllos que realicen profecías vacías. Ya existe el peligro de que los matemáticos hayan hecho una alianza con el Demonio para oscurecer el espíritu y confinar al hombre en las ataduras del Infierno."
Por entonces se desconfiaba de las predicciones que se podían realizar usando la matemática, como lo había hecho Thales de Mileto mucho antes, prediciendo el eclipse de sol del año 585 a C mediante cálculos trigonométricos.
En la antigüedad, los matemáticos sistemáticamente eran incluidos entre los brujos y fetichistas de su tiempo, como lo muestran las siguientes historias:
Una de las primeras mujeres matemáticas de la historia Hipatia fue linchada por una turba de Cristianos en Alejandría en el 416 por sus estudios paganos.
Durante las guerras civiles en Francia entre 1562 y 1598, los españoles se servían, para su correspondencia secreta, de un código en que figuraban cerca de 600 símbolos diferentes, periódicamente permutado según cierta regla que sólo los súbditos más íntimos de Felipe lo conocían. Habiendo sido, sin embargo, interceptado un despacho secreto de España, Enrique IV, rey de Francia, resolvió que el genio maravilloso de Francois Viète descifrara el escrito. El geómetra no sólo descifró el documento capturado si no que descubrió la palabra secreta del código español. De ese descubrimiento, los franceses sacaron incalculable ventaja durante dos años. Cuando Felipe II supo que sus enemigos habían descubierto el secreto del código tenido como indescifrable, fue presa de gran espanto y rencor, apresurándose en llevar al Papa Gregorio XIII la denuncia que los franceses, contrariamente a la práctica de la fe cristiana, “recurrían a sortilegios diabólicos de magia y brujería”, denuncia a la que el Pontífice no dio ninguna atención.
Giordano Bruno, un matemático nacido en Nápoles fue condenado a la hoguera en el 1600 por considerar que sus estudios e ideas matemáticas y astronómicas constituían una herejía.
Mas conocida es la historia de Galileo que fue juzgado y condenado por un Tribunal de la Inquisición en 1633 por su hipótesis matemática relacionada con el movimiento de la tierra alrededor del sol. Considerado un hereje por entonces, declarado culpable y condenado a permanecer en arresto domiciliario hasta su muerte diez años después, recién fue reivindicado por el Papa Juan Pablo II en 1992.
¿Cuál es la razón de que muchos consideren a la matemática una ciencia misteriosa y algo oscura?

domingo, 9 de octubre de 2011

El Papiro Rhind

En 1858 el anticuario escocés Henry Rhind visita Egipto y compra, en un mercado en Luxor, un papiro encontrado en las ruinas de un antiguo edificio de Tebas. Rhind muere 5 años después de la compra y el papiro va a parar al Museo Británico de Londres. Comienza con la frase “Cálculo exacto para entrar en conocimiento de todas las cosas existentes y de todos los oscuros secretos y misterios”.
El escriba egipcio que lo copió alrededor del año 1650 antes de Cristo, Ahmes, lo recrea a partir de escritos de 200 años de antigüedad, según lo aclara al principio del documento.
El papiro Rhind o papiro Ahmes, como también se llama, mide unos 6 metros de largo y 33 cm de ancho. Representa la mejor fuente de información sobre matemática egipcia que se conoce. Escrito en hierático, consta de 87 problemas resueltos. Contiene información sobre cuestiones aritméticas básicas, fracciones, cálculo de áreas, volúmenes, progresiones, repartos proporcionales, reglas de tres, ecuaciones lineales y trigonometría básica.
Se conoce muy poco sobre el objetivo del papiro. Se ha indicado que podría ser un documento con claras intenciones pedagógicas, o un cuaderno de notas de un alumno. Para nosotros es el mejor texto escrito en el que se revelan los conocimientos matemáticos de la importante civilización egipcia.

sábado, 8 de octubre de 2011

El número pi

La historia de pi

Cuando uno de los primeros matemáticos de la historia quiere dividir la longitud de una circunferencia por la medida de su diámetro se siente frustrado. Ese cociente se llama pi, es un número irracional, con infinitas cifras decimales no periódicas. No importa cuál es la circunferencia, al dividirla por su propio diámetro, el cociente se mantiene constante y a ese cociente se lo llama pi.

Uno de los más antiguos textos matemáticos que se conserva, el papiro de Rhind, del siglo XVII antes de Cristo, muestra el cálculo que su autor, el escriba Ahmes realiza para pi. La Biblia le asigna el valor 3, en Babilonia 3 1/8; los egipcios 4(8/9)²; Siddhantas 3,1416; Brahmagupta 3,162277; y en China 3,1724.
Es en Grecia donde la exacta relación entre la longitud de una circunferencia dividida por su propio diámetro, comienza a consolidarse como uno de los más llamativos enigmas a resolver. También allí recibe el nombre, con la misma letra que designan el nombre periferia. Un contemporáneo de Sócrates, Antiphon, inscribe en el círculo un cuadrado, luego un octógono e imagina doblar el número de lados de los polígonos, sucesivamente, hasta el momento en que el polígono obtenido coincida prácticamente con el círculo. Calculando así un con mayor cantidad de decimales.
Después de los trabajos de Hipócrates y de Euxodo, Euclides precisa, en sus “Elementos” los pasos al límite necesarios y desarrolla el método de exhaución, consistente en doblar, al igual que Antiphon, el número de lados de los polígonos regulares inscritos y circunscritos y en mostrar la convergencia del procedimiento, hasta poder calcular pi con más precisión.
Arquímedes reúne y desarrolla estos resultados. Muestra que el área de un círculo es el semiproducto de su radio por su circunferencia y que la relación de la circunferencia dividida por el diámetro está comprendida entre 223/71 = 3,14084 y 22/7 = 3,14285.
Con el renacimiento, los trabajos de ciclometría se multiplican. Purbach adopta para Pi el valor 377/120 = 3,14666....
Los siglos XV y XVI se destacan por el desarrollo de la trigonometría, bajo el impulso de Copérnico y Kepler. Rhaeticus construye una tabla de senos en la que se incluye a Pi con 8 decimales exactos. Adrien Romain (1561-1615) obtiene 15 decimales y Ludolph de Colonia (1539-1610) llega hasta 32. Según su deseo, estos 32 decimales fueron grabados en su tumba, pero en su país la posteridad lo recompensó mucho mejor pues se dio a pi el nombre de "número de Ludolph".
El cálculo infinitesimal da fórmulas notables que, al aportar métodos de cálculo nuevos y mucho mas potentes, separó en cierto modo a pi de sus orígenes geométricos y aclaró el papel fundamental que juega en todo el análisis matemático.
Euler, designa a como la relación circunferencia / diámetro y en 1775 calcula su valor, con 20 decimales.
Hoy en día, gracias a la utilización de computadoras, se calcula que Pi tiene más de 51.000 millones de decimales. En realidad posee infinitas cifras decimales -las cuales, además, no siguen ningún patrón repetitivo.
El pasado día 2 de agosto el ingeniero informático Shigeru Kondo y el estudiante (y gran programador) Alexander J. Yee han conseguido batir el récord de decimales del número , dejándolo en 5 billones de decimales. Este cálculo les llevo 3 meses y con la cantidad de decimales obtenida casi doblan el récord anterior, que estaba en 2,7 billones de decimales.

sábado, 27 de agosto de 2011

EL POSTULADO DE LAS PARALELAS

EL POSTULADO DE LAS PARALELAS

El 5º postulado de Euclides, o postulado de las Paralelas, es el postulado distintivo de la geometría Euclidea.

El postulado afirma:
si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en el que están los [ángulos] menores que dos rectos.
Euclides
Una forma equivalente de enunciar el postulado es:
Por un punto exterior a una recta pasa solo una paralela a dicha recta .

El postulado fue discutido desde el comienzo, el mismo Euclides lo evita en su obra “Los Elementos” para realizar las demostraciones de los teoremas.

Se discutía si: era un verdadero postulado, si era independiente de los otros, es decir, si podía o no, ser demostrado en base a los otros cuatro postulados.
Unos 22 siglos después de que se escribieran los Elementos por fin se llega a la conclusión que el 5º postulado es independiente de los otros cuatro. Y se llega a esta respuesta mediante un camino sorprendente. La prueba de la independencia del postulado de las paralelas, lleva implícita la posibilidad de que existan geometrías en los que no se cumple este postulado. Dicho de otro modo: desde el punto de vista lógico no hay contradicción ninguna en suponer que por un punto exterior a una recta puedan pasar más de una paralela a la recta, o incluso ninguna.

miércoles, 13 de julio de 2011

PODER ANTICIPATORIO DE LA MATEMÁTICA

La matemática es una disciplina anticipatoria de la experiencia, que permite conocer el resultado de algunas situaciones sin necesidad de realizarlas efectivamente. Construir herramientas que permitan obtener resultados sobre aspectos de la realidad, sin necesidad de realizar experiencias efectivas y responsabilizarse matemáticamente por la validez de los resultados, son desde la perspectiva actual, dos aspectos ineludibles del quehacer matemático escolar. (Prediseño Curricular- Secretaría de Educación-1999).

La matemática es una disciplina que ofrece herramientas para resolver ciertos problemas de la realidad; pero centrarse exclusivamente en la utilidad hace perder de vista a la matemática como una ciencia formativa, un producto cultural, una forma de pensamiento.

El conocimiento matemático se produce no sólo para dar respuestas a situaciones de la realidad, sino también para dar respuestas a problemas que surgen del interior de la disciplina.

La enseñanza y el aprendizaje de la matemática están sufriendo un proceso de transformación importante. En la actualidad aprender matemática es construir el sentido de los conocimientos; es decir que aquello que se enseña debe ser significativo para el alumno. Los conocimientos tendrán significado para el niño en la medida en que surjan como resultado de las actividades que realiza.

Para que el aprendizaje se logre y sea exitoso debe estar integrado y teniendo en cuenta que el aprendizaje espontáneo se desencadena por interés o necesidad, es imprescindible que el ser que aprende se interese en su actividad. Además quién aprende lo hace desde lo que ya sabe, es decir que se han de sistematizar los conocimientos previos (sociales o escolares) y organizar las actividades de tal forma que lleven a la nueva información. Las dificultades deben graduarse de tal modo que el niño pueda progresar en el conocimiento hasta llegar al contenido a desarrollar.

Se deberá estimular el razonamiento individual, la participación, el intercambio con los pares y el docente, se intentará promover la búsqueda de soluciones alternativas para favorecer la comprensión de los conceptos matemáticos.

Los conceptos matemáticos pueden elaborarse de diversas maneras, ellas dependen de todo lo que una persona haya tenido la oportunidad de realizar con relación a ese concepto.

El proceso de construcción de un concepto matemático comienza a partir del conjunto de actividades intelectuales que se ponen en juego frente a un problema para cuya resolución resultan insuficientes los conocimientos de que se dispone hasta el momento, por ello es necesario aprender un contenido nuevo; los conocimientos que son punto de apoyo para la elaboración de un nuevo concepto, también forman parte del sentido de ese concepto, resultando así una interrelación significativa.

EL PROBLEMA DE DELOS:


LA DUPLICACIÓN DEL CUBO

    En el año 429 a JC una gran epidemia mató a la cuarta parte de la población de Atenas en Grecia. Entre ellos a Pericles.

    Los sacerdotes consultaron al oráculo del Dios  Apolo (en Delos) y afirmaron que duplicar el altar con forma de cubo, dedicado al Dios Apolo en Delos, terminaría con la epidemia.

    Los atenienses duplicaron las dimensiones del altar y al hacerlo aumentaron ocho veces su volumen. Es decir no pudieron resolver el problema planteado.


 ¿Por qué  al duplicar las dimensiones del altar, aumentaron ocho veces el volumen y cómo debían haber procedido los griegos para duplicar el altar dedicado al Dios Apolo?.

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lunes, 4 de julio de 2011

Los grandes problemas matemáticos en la historia

LOS GRANDES PROBLEMAS (MATEMATICOS) DE LAS CIVILIZACIONES:

       La matemática se desarrolla históricamente como respuesta a determinados problemas que se le presentan a las civilizaciones. Desarrollamos algunos de ellos a modo de ejemplo:

        La medición del tiempo, la construcción de caminos, canales y monumentos, así como el trazado de ciudades y fortalezas, exige el desarrollo de una geometría práctica, que es indispensable para la medición de longitudes y superficies, además del diseño arquitectónico. A la par se desarrollan importantes sistemas de medición de longitud  y capacidad, los cuales toman el cuerpo humano como referencia.

La construcción de las pirámides:

         La construcción de toda pirámide implica una cuidadosa planificación: elección de la necrópolis, diseño y realización de los planos del edificio, cálculos del material y de la mano de obra a emplear, construcción del edificio, etc.
         La gran pirámide de Giza es construye por iniciativa del faraón Jufu (Keops) hacia el 2570 a C.

         El arqueólogo y egiptólogo Flinders Petrie[1] observa, entre otros aspectos morfológicos, que la sección horizontal de la Gran Pirámide tiene forma octogonal, de estrella de cuatro puntas, pues cada una de las caras está compuesta por dos planos, con ligera pendiente hacia el centro, difícilmente apreciable a simple vista por la ausencia casi total del revestimiento. Esta característica y su orientación hacia el Norte geográfico, genera en las caras norte y sur un fenómeno de proyección de sombras durante los equinoccios. La altura original se estima en 146, 61 m y la pendiente 51º 50 35”. La longitud media de los lados de la base es 230,347 m
       En el siglo XX surgen hipótesis acerca de la forma de construcción,  como la del egiptólogo alemán Ludwig Borchardt, quien expuso (en 1928) la teoría de utilización de grandes rampas, perpendiculares a la cara de la pirámide, como medio para construirla. Algunos egiptólogos y arqueólogos, descartaron la teoría de las rampas, opinando que la propia pirámide sirvió de plataforma de trabajo.
      La construcción de las pirámides está llena de interrogantes  en cuanto a los procedimientos tecnológicos con los que contaron los egipcios. Las pirámides son monumentos colosales y de una gran precisión; y pese a las muchas excavaciones realizadas, no se han encontrado las herramientas con las que se pudieron realizar estas obras y las que se hallaron son herramientas de bronce que parecen insuficientes, para cortar bloques de granito. A pesar de todos los interrogantes que nos podemos plantear es seguro que los egipcios conocen la forma de trazar ángulos rectos, la relación pitagórica, las relaciones espaciales necesarias para el trazado de planos, la forma de construir rampas inclinadas, la manera de calcular áreas de figuras y cuerpos regulares, la forma de mantener una pendiente (ángulo) en las caras de una pirámide, etc.
     No sabemos exactamente como llegaron los egipcios a adquirir y desarrollar estos conocimientos matemáticos pero es indudable que han logrado construirlos: las pirámides en pie desde hace más de cinco mil años lo prueban.

El Calendario egipcio[2]

Los pueblos de la antigüedad miden los años mediante calendarios lunares, producto de las observaciones que realizan de este astro. Los babilonios, altamente preocupados por la Astronomía y las Matemáticas tienen un calendario basado en observaciones lunares y en fenómenos del satélite de la tierra que no son regulares.  La duración de una lunación es variable y está comprendida entre 29 días 6 horas y 29 días 20 horas, siendo el mes lunar medio de 29 días 20 horas 44 minutos 2 segundos. Los egipcios usan al inicio de su civilización un calendario lunar.
Los egipcios, esencialmente agricultores, están muy pendientes de la inundación anual del Nilo y el calendario lunar no es muy efectivo para predecirla: entonces deciden crear un calendario relacionado con este suceso tan importante para su subsistencia.
Es así que observan que el inicio de la inundación del Nilo, coincide con la aparición de la estrella Sotis (Sirio) por el este justo antes de la salida del Sol y que este hecho está separado por 365 días. Establecen un calendario de 12 meses de 30 días cada uno (360 días) y los 5 días restantes, los dedican a celebrar los nacimientos de los  dioses Osiris, Orus, Seth, Isis y Neftis, los cinco hijos de la diosa Nut (días epagómenos).
 Esta medición (no exacta) del año, produce que cada cuatro años se produce un error de un día, es decir, el inicio del año se retrasa un día cada cuatro. Este desfasaje es importante y con el transcurso del tiempo se produce un desplazamiento de las estaciones.
     La fecha de la inundación es el acontecimiento más importante del año, es necesario calcular y hacer saber a los campesinos en qué momento se produce la inundación: este cálculo lo hacen los sacerdotes para incrementar su poder.
      En el año 238  a.C., durante el reinado de Ptolomeo III, el decreto de Canopus impone el “Calendario Alejandrino” que establece un sexto día epagómeno cada 4 años. Más tarde Julio Cesar, en el 45 a.C, por sugerencia de Sosígenes[3] de Alejandría, transforma la duración del año en 365.25 días.
      En el año 8 a C. el emperador romano Cayo Julio Cesar Octavio hace corregir el calendario, estableciendo el Calendario Juliano.
     La tierra no tiene una velocidad constante de rotación y su velocidad ha ido disminuyendo a través del tiempo, de esta manera se ha presentado un desfase en la coincidencia de las estaciones y el calendario, desfase, que no es corregido completamente por las modificaciones que se han ido introduciendo en el calendario juliano.
      En el siglo XVI, este desfase es muy notorio y  el Papa Gregorio XIII, llama a matemáticos importantes de la época para que analicen el problema y propongan soluciones. Entre ellos podemos citar al  alemán Christoforus Clavius (1538-1612), profesor jesuita de matemática quien propuso la solución adoptada finalmente:  Se suprimen los diez días del desfase entre las fechas y el equinoccio de primavera eligiéndose el 5 de octubre del año 1582 que pasa a ser el 15 de octubre. Se instituye que, como cada 400 años el desfase es de aproximadamente 3 días, habría que suprimir tres años bisiestos de cada período de 400 años. La nueva regla es: de los cuatro años múltiplos (de 100 de cada periodo de 400 años), sólo es bisiesto[4] el último de ellos.
     Gregorio XIII, cuyo pontificado dura desde 1572 a 1585, implanta el nuevo calendario en 1582 llamándose desde entonces, y en su honor, “Calendario Gregoriano”. Las naciones católicas lo implantaron de inmediato.
LOS PROBLEMAS (CLÁSICOS) EN LA  MATEMÁTICA GRIEGA:
     Los griegos del siglo VII a C, se reúnen en la isla del mar Egeo, Delos,   para celebrar la entrada de la  primavera, y agradecer a los dioses Apolo y Artemisa en sus templos de la isla. Las reuniones festivas en honor a los dioses se llaman Delias y se aprovechan para comerciar.
    La isla de Delos pertenece a las islas Cícladas, están situadas al este de la península del Peloponeso, y en ella surgen los tres problemas clásicos griegos. Los tres problemas deben resolverse solamente con el uso de la regla y el compás. Cualquier solución que se pueda obtener por otros procedimientos no se considera válida. Algunos científicos griegos obtienen soluciones geométricas y mecánicas de estos problemas, pero los problemas se consideran no resueltos, puesto que no se había realizado la resolución con regla y compás, que es la metodología exigida.
     El primer problema en aparecer,  es el de la cuadratura del círculo: Construir a partir del radio r de  un círculo, un cuadrado de la misma área que el círculo. En problema consiste en relacionar el radio del círculo con su área o con la longitud de la circunferencia que lo contiene, es decir por determinar la relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro (el número pi).
     La duplicación del cubo se relaciona con el oráculo de Delos. Una leyenda cuenta que una epidemia de peste, en Atenas hacia el 428 a.C., atemoriza tanto a los ciudadanos atenienses que sus dirigentes piden ayuda al dios Apolo para terminar con la epidemia.  La consulta al oráculo de Apolo (en Delos)  les dice que para terminar con la peste tienen que construir un altar de volumen doble que el que tiene el de  Apolo en el templo.
Los sobrevivientes a la peste tratan de construir un altar con un volumen doble del que tiene Apolo, duplicando la medida lineal del altar, pero sin lograrlo: conservando la forma cúbica y duplicando cada lado se obtiene un cubo ocho veces mayor que el inicial. 
El problema de la trisección del ángulo consiste en dividir un ángulo cualquiera en tres partes iguales (congruentes) con el único uso  de la regla y el compás.
Actualmente se considera que estos problemas clásicos de la matemática griega,  tienen una respuesta adecuada en el terreno del álgebra y la exigencia griega de que los problemas sean resueltos  con regla y compás, impiden que se puedan resolver, pero dan lugar al desarrollo de muchos contenidos matemáticos que facilitan grandes avances en su evolución.
LOS SISTEMAS DE MEDIDAS:
    Los sistemas de medidas derivan de las dimensiones del cuerpo humano (codo, pie, etc) y tienen distintas evoluciones relacionadas con el intercambio de productos entre distintos grupos humanos para unificar la unidad de medida  y el desarrollo de los sistemas de escritura y numeración. Los egipcios toman el cuerpo humano (generalmente de los faraones) como base para las unidades de longitud, tales como: las longitudes de los antebrazos, pies, manos o dedos. El codo, cuya distancia es la que hay desde el codo hasta la punta del dedo corazón de la mano, es la unidad de longitud más utilizada en la antigüedad, de tal forma que el codo real egipcio, es la unidad de longitud más antigua conocida. El codo es heredado por griegos y romanos, aunque no coincidían en sus longitudes.
    Hasta el siglo XIX proliferan distintos sistemas de medición lo que conlleva a frecuentes conflictos entre mercaderes, ciudadanos y los funcionarios del fisco. A medida que se extiende por Europa el intercambio de mercancías, se generaliza en las clases gobernantes, la necesidad de crear un sistema común de medidas que facilitara el comercio.
     En la época de la Revolución Francesa se está desarrollando en Francia la reforma del sistema de pesos y medidas. Se crea un Comité para la elaboración de un proyecto, formado por los principales matemáticos de la época, entre los que citaremos a Lagrange, Laplace, Conodorcet y Monge. El comité se pone de acuerdo en crear un sistema básicamente decimal, adoptando el metro[5] como unidad de Longitud del nuevo sistema de Medidas, el gramo, la unidad de masa igual a la masa de un centímetro cúbico de agua a la temperatura de máxima densidad (4 º C) y se fabrica un cilindro de platino (kilogramo de archivo) para representar la unidad de 1000 gramos. Los nombres para los múltiplos y submúltiplos se unifican empleando prefijos griegos. El sistema métrico decimal resultante está listo en 1791 pero recién en 1799 comienza a usarse en Francia. Paulatinamente este sistema se adopta en diferentes países del mundo. En 1857, Sarmiento presenta un proyecto ante la Legislatura de la Provincia de Buenos Aires propiciando el uso del sistema métrico decimal que al fin es adoptado en 1863, pero su uso obligatorio se establece en 1887.
     La forma actual del sistema métrico decimal constituye el Sistema Internacional de Medidas, creado en 1960 por la Conferencia General de Pesos y Medidas[6] y fue adoptado en nuestro país en 1972, siendo conocido como SIMELA (Sistema métrico legal argentino). Las unidades básicas son las siguientes: Longitud el metro, Masa el kilogramo, tiempo el segundo, intensidad de la corriente eléctrica el amperio, temperatura  kelvin, intensidad luminosa candela, cantidad de sustancia el mol.





[1] Inglés 1853 1942, dedicado al estudio de la arqueología egipcia e israelí.
[2] Se sitúa su origen alrededor de 2773 a C.
[3] Astrónomo y filósofo de la ciudad de Alejandría que calcula que el año solar dura 365 días y 6 horas dando origen al calendario juliano.
[4] Es decir, serían bisiestos el 1600, 2000, 2400, etc. y no lo serían el 1700, 1800, 1900, 2100, etc
[5] En ese momento se define el metro como la diezmillonésima parte de un cuarto de meridiano terrestre que pasa por Paris.
[6] La Conferencia General de Pesos y Medidas es el órgano de decisión de la Convención del Metro y tiene a su cargo tomar decisiones en materia de metrología, se reúne cada cuatro años y está integrada por representantes de los estados miembros: 51 países que usan el sistema métrico decimal.

DE QUE HABLAMOS CUANDO HABLAMOS DE MATEMÁTICA.

¿DE QUE HABLAMOS CUANDO HABLAMOS DE MATEMÁTICA?

    David Hilbert, el genial matemático alemán nacido en 1862, se da cuenta un día que uno de sus estudiantes ya no asiste a sus clases. Pregunta a sus compañeros, quienes le informan que el estudiante en cuestión había renunciado a la matemática para ser poeta. Hilbert contesta: “Bien, no tenía suficiente imaginación para ser matemático”.
    Los diccionarios establecen que la imaginación es la facultad que permite representar las imágenes de las cosas reales o ideales y que es la facilidad de una persona para formar nuevas ideas, proyectos o entes que no existen en la realidad, incluso se  afirma que la imaginación es la capacidad de formar imágenes mentales, que pueden estar o no ligadas a visiones reales o percepciones realizadas anteriormente. La imaginación lleva a la elaboración de poemas, cuentos, obras de arte, ……..a la formulación de nuevas teorías matemáticas y científicas porque puede convertirse en una fuente de intuiciones y de hipótesis.
     Albert Eistein afirma que “la imaginación es más importante que el conocimiento. Mientras que el conocimiento se limita a lo que ahora conocemos y entendemos, la imaginación abarca el mundo entero, todo lo que en el futuro se conocerá y entenderá”.
      No es posible negar que, para hacer matemática, es imprescindible tener imaginación, ya que gran parte de las visualizaciones mentales que se requieren para aprender esta disciplina, se apoyan sobre imágenes mentales de objetos matemáticos y para resolver un problema es necesario imaginar una estrategia de solución.
    Pero, ¿que otras cuestiones son necesarias para abordar el aprendizaje de la matemática? ¿Es cierto que la forma de razonar de los matemáticos es distinta a la del resto de los científicos?. Una anécdota atribuida a Stewart es la siguiente:  un ingeniero, un físico y un matemático, viajando en tren por Escocia,  ven en medio de un campo una oveja negra.
Se produce entonces el siguiente diálogo:
- "Qué curioso", observa el ingeniero  - "en Escocia las ovejas son negras".
- "No",   protesta el físico,   - "en Escocia  algunas ovejas son negras".
-"No, no",  corrige el matemático con paciencia:  - "en Escocia hay al menos un campo que tiene al menos una oveja cuyo único lado visible desde el tren es negro". 
     Esta anécdota hace referencia a la precisión del lenguaje que emplean los matemáticos: se limitan a enunciar lo que conocen, sin especular sobre lo que no conocen, ni hacer afirmaciones sin base real.
      Desde siempre se enseña matemática en todas las escuelas y en todos los niveles. Las razones básicas por las cuales se enseña esta disciplina son: porque es muy adecuada para desarrollar la capacidad de pensamiento y la capacidad deductiva (aspecto formativo) y porque es útil para la vida cotidiana (aspecto práctico), para emplear en otras disciplinas del desarrollo personal y profesional (como herramienta) ya que son auxiliares para averiguar, analizar, explicar y representar lo que nos rodea.
   
     La facultad de predecir de la matemática es empleada a diario: por ejemplo, predecimos cuánto gastaremos en una compra, mediante cálculos. Este poder anticipatorio de la matemática es muy importante y  podemos dar tan solo dos ejemplos.
       El gran matemático griego Thales,  fue capaz de predecir un eclipse y averiguar la altura de la Gran Pirámide de Gizeh, empleando cálculos matemáticos.  Parece ser que midió la longitud de la sombra que la pirámide dejaba sobre la arena, la comparó  con su propia sombra y empleo relaciones de proporcionalidad  para averiguar la altura. En 1846 John Adams, demostró la existencia del Planeta Neptuno mediante cálculos: Estableció la órbita de Urano, observó que en la realidad sufría alteraciones respecto de la órbita prevista,  entonces  atribuyó las alteraciones a un cuerpo extraño que con su presencia alteraba la órbita del planeta Urano. Señaló las coordenadas de ese objeto extraño  que alteraba la órbita (de Urano) para que los astrónomos enfocaran sus telescopios. Más tarde, se descubrió el objeto extraño: se lo llamó Neptuno.
    Se asocia también a la matemática con la inteligencia, la creatividad y la capacidad de observación. Carl Frederich Gauss, considerado uno de los hombres más inteligentes de la historia,  a los 10 años ya se destacaba en la escuela. Su maestro le propuso sumar los cien primeros números naturales para mantenerlo entretenido y en pocos minutos encontró la respuesta por medio de una estrategia adecuada y creativa. Gauss se dedicó a la matemática y sus aportes son invaluables.
    Podemos asegurar también que la matemática es un producto cultural. Todas las civilizaciones desarrollan contenidos y conceptos matemáticos y sus orígenes están ligados a la intuición, a las conjeturas, a las aproximaciones inductivas, a la observación, a la capacidad de creación e imaginación. Muchas nociones matemáticas nacen como respuestas a preguntas de la vida cotidiana y gran parte del conocimiento matemático surge de la interacción de las personas entre si y de las personas con el medio. Algunos contenidos se desarrollan contemporáneamente en culturas diferentes y son influenciados por las concepciones de la época en la que surgen. La matemática es una ciencia formalizada y axiomatizada pero  en constante construcción.
   Además de las razones expuestas, habría que añadir que la matemática es un lenguaje, un medio de comunicación: en la tierra se hablan idiomas diferentes, incluso con alfabetos diferentes, pero los matemáticos de todo el mundo emplean el mismo lenguaje simbólico: el lenguaje matemático. El destacado científico Carl Sagan afirma que el lenguaje común a todas las civilizaciones con desarrollo tecnológico, por muy diferente que sean, es la matemática ya que las leyes de la naturaleza son únicas y se explican en términos matemáticos.
   La Comisión Internacional para la Instrucción Matemática, (ICMI) en un simposio celebrado en Kuwait en 1986, establece cuatro razones básicas para enseñar Matemáticas y sus correspondientes consecuencias curriculares:
  1. Desarrollo de la potencia crítica que capacita a la gente para manejar la masa de datos con la que constantemente somos bombardeados. Como consecuencia, se deriva la introducción de nociones estadísticas en todos los currículos de los niveles obligatorios.
  2. La existencia de una certeza verificable ausente en otros aspectos de la existencia humana. Dos consecuencias derivadas de este hecho: a) suministra al alumnado las suficientes Matemáticas como para convencerse de existe algo que es verdad fuera de toda duda y b) la enseñanza debe realizarse de forma que capacite y anime al alumnado a llegar a sus propias convicciones.
  3. El placer inherente de la creación matemática.
  4. El papel auxiliar de las Matemáticas, en crecimiento continuo y exponencial.
    A estas razones podríamos agregar el concepto de matemática lúdica, recreativa. Como ejemplo de matemática para el entretenimiento y pasatiempo: citaremos: el sudoku, el cubo de Rubik, los cuadrados mágicos, el origami, el tan gram, los números cíclicos.
     Ante todo lo expuesto: ¿de que hablamos cuando hablamos de matemática?. Hablamos de una manera de pensar y de razonar, de una manera de expresarnos, de una manera de encarar la solución de situaciones problemáticas cotidianas y de encarar esas situaciones, hablamos de una variedad de estrategias deductivas, de búsqueda de regularidades, de empleo de datos para organizar deducciones. Hablamos de emplear la capacidad deductiva de nuestra especie.
Algunos problemas entretenidos:
1.- En la tumba del matemático griego Diofanto de Alejandría figura la siguiente inscripción:
“Esta tumba contiene a Diofanto. ¡Gran maravilla!
Y la tumba dice la medida de su vida: Dios hizo que fuera niño una sexta parte de su vida.
Añadiendo un doceavo , las mejillas tuvieron su primera barba.
Le encendió el fuego nupcial después de un séptimo.
Y en el quinto año después de la boda le concedió un hijo.
Pero, niño, tardío y desgraciado en la mitad de la medida de su vida de padre, lo arrebató la helada tumba.
Después de consolar su pena cuatro años con esta ciencia del cálculo llegó al término de su vida”.
Averigua ¿cuántos años vivió Diofanto?.
2.- Un gavilán posado en la rama de un árbol y admirado de ver a las hermosas palomas volar, le dijo a una de ellas,
- “Adiós mis cien palomas, que bellas se ven”.
Una de ellas, llena de amabilidad, le dijo:
- Disculpe señor gavilán, pero nosotras no somos cien, con otro tanto igual, más la mitad, más la cuarta parte y usted, señor gavilán, las completamos. ¿Dígame, señor gavilán, cuantas somos?
3.- Los caballos que pertenecen a 4 hombres son respectivamente 5, 3, 6 y 8. Los camellos que pertenecen a los mismos son 2, 7, 4 y 1. Las mulas son 8, 2, 1 y 3. Los bueyes son 7, 1, 2 y 1. Los 4 hombres tienen igual fortuna. ¿Cuál es el precio de cada uno de los animales?
4.- Dentro de un bosque, un número de monos es igual al cuadrado de un octavo del total de un conjunto de ellos que estan jugando ruidosamente. Hay doce monos más, que están en una colina cercana y no juegan. ¿Cuantos monos están jugando?






 

miércoles, 29 de junio de 2011

La Matemática en los comienzos

La matemática que practicaban los primeros seres humanos estaba asociada a la vida cotidiana. Contar, medir, reconocer formas, eran acciones que realizaban los hombres y mujeres prehistóricos.
Existen evidencias arqueológicas relacionadas con el conteo y los sistemas de numeración primitivos, que tienen unos 30.000 años de antigüedad, como el hueso de Ishango, encontrado en las inmediaciones del río Nilo, al noreste del Congo que parece haber sido un registro relacionado con un sistema de numeración usado por entonces. Se especula con la idea que los habitantes de la tierra  de esas épocas ya eran capaces de sumar, restar, multiplicar e incluso dividir cantidades sencillas. Lo cierto es que cuando comienzan a nacer las ciudades y las civilizaciones ya existían conocimientos matemáticos importantes.
La matemática  babilónica, la que practicaban en la Mesopotamia en el actual Irak, desde los días de los primeros habitantes, los sumerios, ya incluía el conocimiento de propiedades importantes que facilitaban las construcciones de viviendas y templos. Tenían un sistema de numeración de base 60 (sexagesimal) similar al que se usa actualmente para medir el tiempo. Existen evidencias de estos conocimientos matemáticos en tablillas de arcilla que son anteriores al inicio de la escritura. Culturas contemporáneas de los sumerios, como los Egipcios, también desarrollaron conocimientos matemáticos importantes; practicaban una matemática eminentemente práctica como herramienta para solucionar problemas que se les presentaban en la vida cotidiana.

martes, 28 de junio de 2011

el nacimiento de los sistemas de numeración.

     Hace 40.000 años, los seres humanos ya poseen  un sentido innato del número, al menos como diferencia entre uno y muchos, y la acción de contar surge de la adaptación al medio: contar los objetos que son parte de su patrimonio por ejemplo. También  aprecian las magnitudes como diferencia de tamaño entre objetos semejantes y diferencian las particularidades de las formas: la redondez de la luna llena, la curvatura de un río. Cuentan con los dedos y cuando las cantidades que cuentan aumentan, son capaces de registrarlas: amontonando piedras (una por cada elemento contado) o haciendo marcas en una madera: una marca por cada objeto que se cuenta.
     Algunos conceptos geométricos los acompañan en su vida diaria: comparaciones de longitudes, comparación de formas, comprensión de que la recta es la distancia más corta entre dos puntos, noción de distancia, estimación de tiempos, noción de verticales y paralelas, reconocimientos de simetrías en animales y plantas. De esta manera nace una geometría asociada a la vida cotidiana.
Se especula con que además de contar y registrar cantidades, son capaces de realizar operaciones simples como sumar y restar.
     Durante la última glaciación, el homo sapiens sapiens comienza una serie de cambios en su forma de vida, produce algunos inventos y domestica ciertas especies, se inicia en la agricultura a partir de especies silvestres de trigo y cebada. Aumenta la cantidad de miembros de los grupos humanos y los individuos desarrollan nuevas formas de aprovechar los recursos naturales. Al retirarse los glaciares, la recolección de frutas y semillas y la caza deja de ser la principal fuente de alimentos y se desarrolla la agricultura. Se cree que entonces inventan símbolos para los números, para facilitar la comprensión y la lectura de las cantidades registradas, surgiendo así los sistemas de numeración.

lunes, 20 de junio de 2011

el nacimiento de la matemática

Lo que hoy se conoce como matemática, nace en la más remota antigüedad en torno de los conceptos de número, magnitud y forma.

Hace unos 40.000 años, los seres humanos tienen un concepto innato del número, al menos como diferencia entre uno, dos y muchos y la acción de contar nace como adaptación al medio; aprecian las magnitudes como diferencia de tamaño entre objetos similares y diferencian las particularidades de las formas.

Cuentan con los dedos y cuanto las cantidades de objetos que cuentan aumentan, son capaces de registrarlas: amontonan piedras o hacen marcas en una madera (una por cada elemento contado). Para facilitar la interpretación de esas marcas, cada cierta cantidad -siempre la misma- hacen una marca distinta y nace así el agrupamiento.

Existen evidencias arqueológicas de la acción de contar y de la numeración primitiva que tienen unos 30.000 años de antigüedad.

MATEMATICA ¿INVENTO O DESCUBRIMIENTO?

Lo que hoy conocemos como matemática, acompaña a los seres humanos desde la más remota antigüedad.
Algunos opinan que la matemática es un descubrimiento de los seres humanos, otros que se trata de un invento del cerebro humano.
Según se trate de un descubrimiento o de un invento, deberá enseñarse de diferente modo.
Ud que opina: ¿es un invento o un descubrimiento?.